⚖️ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে:

প্রশ্নপর্ব-

১। একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ছাড়া অন্য দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 0.1 এবং 0.2 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ?

উত্তর: সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল    = × ভূমি × উচ্চতা

  = ×0.1×0.2

  = 0.01 বর্গমিটার।

২। একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4, 5, 3 ফুট হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

উত্তর: এখানে,

5² + 3² + 4² অর্থাৎ, (অতিভূজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)² এবং ত্রিভুজটি সমকোণী।

৩। সমকোণী ত্রিভুজাকৃতি একটি মাঠের অতিভুজ ও ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 5 মিটার। মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

উত্তর: (অতিভূজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²

 বা, (লম্ব)² = (অতিভূজ)² - (ভূমি)²

        ∴ লম্ব = √(অতিভূজ)² - (ভূমি)²

        = √13² - 5²

        = √169 - 25

        = √144

        = 12

৪। একাটি ত্রিভুজাকৃতির মাঠে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মি., 21 মি. এবং 29 মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত বর্গ মি.?

উত্তর:

ক্ষেত্রফল = √s(s-a)(s-b)(s-c)

     = √35(35-20)(35-21)(35-29)

     = √35×15×14×6

     = √(5×7)(3×5)(2×7)(2×3)

     = √(5×5)(7×7)(2×2)(3×3) [এভাবে জোড়া মেলালে খুব সহজেই বর্গমূল করা যাবে]

     = 5×7×3×2

     = 210 বর্গমিটার

৫। একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5, 7, 8 মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

উত্তর:

ক্ষেত্রফল = √s(s-a)(s-b)(s-c)

     = √10(10-5)(10-7)(10-8)

     = √10×5×3×2

     = √100×3

     = 10×√3

     = 10×1.732

     = 17.32 বর্গ মিটার

৬। একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13, 14 ও 15 মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

উত্তর:

     ∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √s(s-a)(s-b)(s-c)

  = √21(21-13)(21-14)(21-15)

  = √21×8×7×6

  = √21×2×4×7×6

  = √(21×2)×4×(7×6)

  = √42×4×42

  = 42×2

  = 84 বর্গ মি.

৭। একটি বিষমবাহ ত্রিভুজের বাহু তিনটির পরিমাণ 42 সে.মি. এবং 34 সে.মি. এবং 20 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

উত্তর:

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √s(s-a)(s-b)(s-c)

           = √48(48-42)(48-34)(48-20)

           = √48×6×14×28 [সংখ্যাগুলো গুণ করে বর্গমূল বের করতে বেশ সময় লাগবে, তাই ল.সা.গুর সহায়তা নেয়া হয়েছে]

           = √2×2×2×6×6×14×28

           = √(2×2)(6×6)(28×28) [জোড়া জোড়া মেলানো হয়েছে]

           = 2×6×28 [বর্গমূল থাকায় প্রতি জোড়া থেকে একটি করে নেওয়া হয়েছে]

           = 336 বর্গ সে.মি.

৮। 3cm, 4.5 c.m, 5.5 cm, বাহু বিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

উত্তর:

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল      = √s(s-a)(s-b)(s-c)

     = √6.5(6.5-3)(6.5-4.5)(6.5-5.5)

     = √6.5×3.5×2×1

     = √6.5×7

     = √45.5

     = 6.75 বর্গ সে.মি.

৯। একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6 মিটার, 4 মিটার ও 20 মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

উত্তর: আমরা জানি,

ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। অর্থাৎ ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড় না হলে ত্রিভুজ গঠিত হয় না। প্রশ্নে প্রদত্ত দুটি বাহুর সমষ্টি (6+4) = 10 মিটার যা তৃতীয় বাহু 20 মিটারের চেয়ে ছোট। তাই প্রদত্ত বাহু 20 মিটারের চেয়ে ছোট। তাই প্রদত্ত বাহু তিনটি দ্বারা কোনো ত্রিভুজ গঠিত হবে না।

১০। যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 6 বর্গ মিটার এবং অতিভুজ 5 মিটার হয়, তবে ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

উত্তর: আমরা জানি,

(অতিভূজ)² = (ভূমি)² + (উচ্চতা)²

ধরি,

ভূমি x মি. এবং উচ্চতা y মি.

∴ xy = 6

⇒ xy = 12

এখানে,

5² = x²+y²

      ⇒ (x+y)² - 2xy = 25

      ⇒ (x+y)² - 2×12 = 25

      ⇒ (x+y)² = 49

      ⇒   x+y = ±7 [(-) মান গ্রহণযোগ্য নয়]

         ∴ x+y = 7

∴ নির্ণেয় পরিসীমা = x+y+অতিভূজ

      = 7+5

      = 12 মি.